ln 和 log 之间的转换依靠对数换底公式完成，ln 本质就是底数为 e 的对数，也就是 lnx 等于 log 以 e 为底 x，平时书写的时候把底数 e 省略写成 ln，而 log 在教材里面多数默认是常用对数也就是底数为 10 的 log 以 10 为底 x，也有部分场景 log 不指定底数，代表任意底数对数，这是很多同学混淆的根源。之所以需要做 ln 和 log 之间的转换，是因为计算器一般同时提供 ln 键和 log 键，微积分微分方程大量使用 ln，而工程测量旧题目经常使用底数 10 的 log，两种体系的计算结果不能直接等同，必须通过换底公式换算。学习这套转换可以按照顺序推进，第一步分清 ln 和 log 各自的底数定义，第二步掌握换底公式原型，第三步推导 ln 和 log 互相换算的系数，第四步练习正向转换和逆向转换，第五步处理复合对数导数极限题型，最后识别转换过程中的定义域陷阱。ln 和 log 之间的转换本质就是更换对数的底数，利用换底公式把底数统一，换算之后数值是等价的，只是表达形式不一样。
基础定义区分
| 名称 | 标准定义 | 底数 | 书写习惯 |
|---|---|---|---|
| ln | 自然对数 | e，约等于 2.71828 | 固定省略底数，直接写 lnx |
| log | 常用对数 | 10 | 很多教材默认 log 就是 log 以 10 为底 x，部分大学教材 log 代表任意底数对数，需要看题干说明 |
换底公式原型
通用换底公式，log 以 a 为底 b 等于 log 以 c 为底 b 除以 log 以 c 为底 a
这个公式是所有对数跨底数转换的底层公式，a c 都必须大于 0 并且不等于 1，b 大于 0。
ln 和 log 互相转换公式
第一种，把常用对数 log 转换成 ln
log 以 10 为底 x 等于 lnx 除以 ln10
ln10 是固定常数，数值大约等于 2.302585
第二种，把 ln 转换成常用对数 log
lnx 等于 log 以 10 为底 x 乘以 ln10
也可以写成 lnx 等于 log 以 10 为底 x 除以 log 以 10 为底 e
log 以 10 为底 e 是固定常数，数值大约等于 0.434294
换算系数说明
ln 和 log 之间的换算属于固定比例关系，lnx 永远是 log 以 10 为底 x 乘以固定常数 ln10，这个常数也叫自然对数换算因子。
做题的时候如果题目给的是 log，但是求导或者积分需要用 ln，就用除以 ln10 完成转换。
如果题目给的是 ln，但是题目要求用底数 10 的 log 表达，就乘以 ln10 完成转换。
拓展 任意底数 log 与 ln 转换
如果题目里面 log 不是底数 10，而是 log 以 a 为底 x，通用转换写法
log 以 a 为底 x 等于 lnx 除以 lna
lnx 等于 log 以 a 为底 x 乘以 lna
这个是前面常用对数转换的推广形式，底数 a 只要大于 0 不等于 1，真数 x 大于 0 就可以使用。
常见应用场景
第一 计算器计算，计算器没有 log 以 e 以外自定义底数按键的时候，用换底公式，把目标对数改成 ln 的除法完成计算。
第二 微积分求导，y 等于 log 以 10 为底 x，先转换成 y 等于 lnx 除以 ln10，导数就是 1 除以 xln10，这个是高频考点。
第三 对数方程，方程里面同时出现 ln 和 log，统一转换成同一种形式，一般统一成 ln 之后再解方程。
第四 物理工程分贝计算，分贝公式本身是底数 10 的 log，部分推导会切换成 ln 形式，就需要使用这套转换。
易错点
第一 不要误认为 ln 等于 log，两者底数不一样，数值不相等，必须乘除换算系数。
第二 转换的时候真数必须保持大于 0，定义域要求不变。
第三 部分国外教材 log 默认就是自然对数，也就是等同于 ln，做题前一定要确认题干定义，这个是非常容易踩坑的地方。
第四 换底之后不要把系数漏掉，很多同学直接把 log 写成 ln，忘记除以 ln10，造成计算错误。
【常见问题】
问题 1 ln 和 log 之间的转换核心公式是什么
回答 1 ln 和 log 之间的转换核心是换底公式，常用对数 log 以 10 为底 x 等于 lnx 除以 ln10，反过来 lnx 等于 log 以 10 为底 x 乘以 ln10，依靠这个固定换算系数完成两种对数的互相转换。
问题 2 为什么 ln 和 log 之间的转换需要除以 ln10
回答 2 ln 和 log 之间的转换根源是两者底数不同，ln 底数是 e，常用 log 底数是 10，根据换底公式，log 以 10 为底 x 等于 lnx 除以 ln10，ln10 是固定常数，所以转换的时候必须做除法运算。
问题 3 求导的时候 log 转 ln 和 log 之间的转换怎么操作
回答 3 求导场景下，把 log 以 10 为底 x 通过 ln 和 log 之间的转换改写为 lnx 除以 ln10，因为 ln10 是常数，导数就等于 1 除以 xln10，这样就可以直接套用 ln 函数的导数公式完成计算。
问题 4 如果题目里 log 不是底数 10，ln 和 log 之间的转换还能用吗
回答 4 可以使用，ln 和 log 之间的转换可以推广到任意底数，log 以 a 为底 x 等于 lnx 除以 lna，只要底数 a 大于 0 不等于 1，真数 x 大于 0，就可以按照这个通用换底公式完成转换。
【免责申明】
本文内容基于实数域对数换底公式，默认 log 为底数 10 的常用对数，若教材定义 log 为任意底数或者默认自然对数，请以课本题干定义为准，内容仅作为学习参考，不替代官方教材，复变对数多值场景不适用本文转换规则。
