log 公式的运算法则是建立在对数定义和指数逆运算基础上的一套固定化简规则，核心就是同底数对数可以实现乘转加除转减幂提系数，同时配套换底规则处理不同底数的对数，整套法则有严格前提，底数必须大于 0 且不等于 1，所有真数必须大于 0，脱离定义域就不能直接套用这套 log 公式的运算法则，它主要用来化简复杂对数表达式，求解对数方程对数不等式，也广泛应用在高等数学导数，物理化学数值计算，算法复杂度分析当中，很多初学者最容易犯的错误，就是把对数加法和乘法混淆，误以为 logA 加 logB 等于 logA 加 B，或者底数不同的时候强行套用积商运算法则，所以学习的时候一定要区分基础恒等式，积商幂法则，换底推论这几个板块，分清每条法则的适用边界。

为什么要掌握 log 公式的运算法则

对数本身是指数的逆运算，如果只依靠定义来回转换指数形式，遇到多项混合运算的时候计算效率很低，log 公式的运算法则本质就是把指数运算的性质迁移到对数运算，把高阶的乘除幂运算降级成加减和系数乘法，降低计算难度。在没有计算器的年代，这套运算法则配合对数表，完成大数乘除和高次幂的计算，现在虽然计算器普及，但是考试解题，代数推导，公式变形依然必须依靠这套法则，而且换底相关的运算法则，是跨底数对数计算唯一的处理方式，没有这个规则，不同底数对数就无法合并化简。

基础恒等运算法则

积商幂核心运算法则

1 积的对数法则 log 以 a 为底 M 乘以 N 等于 log 以 a 为底 M 加 log 以 a 为底 N

同底数，真数相乘，对应的对数相加，M 和 N 都要大于 0，这个法则可以拓展到三个及以上真数连乘，变成多个对数相加。

2 商的对数法则 log 以 a 为底 M 除以 N 等于 log 以 a 为底 M 减 log 以 a 为底 N

同底数，真数相除，对应的对数相减，注意顺序不能颠倒，被除真数对应的对数放在前面。

3 幂的对数法则 log 以 a 为底 M 的 n 次方 等于 n 乘以 log 以 a 为底 M

真数上的指数 n，可以提取到 log 前面变成乘数，n 可以是整数分数负数，不限制只能是正整数。

4 开方对数法则 log 以 a 为底 M 开 n 次方 等于 n 分之一乘以 log 以 a 为底 M

这条属于幂法则的延伸，开 n 次方等价 M 的 n 分之一次方，代入幂法则就可以得到。

换底相关运算法则

1 主换底法则 log 以 a 为底 b 等于 log 以 c 为底 b 除以 log 以 c 为底 a

c 是任选合法底数，做题一般选择 10 或者自然常数 e，也就是换成 lg 或者 ln，方便计算器计算。

2 倒数推论法则 log 以 a 为底 b 乘以 log 以 b 为底 a 等于 1

底数和真数互换之后两个对数相乘，结果固定等于 1。

3 底数带幂推论法则 log 以 a 的 m 次方为底 b 的 n 次方 等于 n 除以 m 乘以 log 以 a 为底 b

底数和真数同时带有幂次，两个指数可以提取出来，真数指数做分子，底数指数做分母。

4 链式换底法则 log 以 a 为底 b 乘以 log 以 b 为底 c 乘以 log 以 c 为底 d 等于 log 以 a 为底 d

连续多个对数相乘，中间所有底数全部抵消，最后保留最初底数和最终真数。

常见错误禁忌

1 不可以写成 logM 加 logN 等于 log (M 加 N)，积的对数是相加，不是真数相加

2 底数不相同的时候，不能直接使用积商加减运算法则，必须先换底统一底数

3 真数小于等于 0 的时候，式子本身无实数意义，不能套用任何 log 公式的运算法则

4 不能把 log 当成普通括号，随意拆分，比如 log (M 减 N) 不能拆成 logM 减 logN，只有真数是除法形式才可以拆成减法

使用 log 公式的运算法则标准步骤

1 第一步检查定义域，确认底数大于 0 不等于 1，所有真数大于 0，判断式子是否具备实数运算意义

2 第二步观察所有对数的底数，如果底数不统一，优先使用换底法则，全部转换成相同底数，一般统一为 ln 或者 lg

3 第三步识别真数结构，如果真数是乘积，使用积法则拆成加法，如果真数是除法，使用商法则拆成减法，如果真数带指数，使用幂法则把指数提前

4 第四步代入基础恒等式和特殊值法则，继续化简合并同类项

5 第五步算出最终结果，如果是解方程，最后回代检验真数，舍去不符合定义域的解

log 公式的运算法则核心记忆点就是同底数才能做积商幂化简，不同底数依靠换底，乘变加除变减幂提系数，所有运算都要遵守定义域限制，熟练掌握这套法则之后，可以稳定完成对数化简，对数方程，对数不等式还有高等数学里面的对数求导相关运算。

【常见问题】

问题 1 log 公式的运算法则里面，积的对数法则可以无限拓展多个真数相乘吗

回答 1 log 公式的运算法则里面，积的对数基础形式是两个真数相乘，这个法则可以继续拓展到三个甚至更多真数连乘，对应的 log 就是多个对数相加，前提每一个真数都大于 0，仍然属于 log 公式的运算法则的延伸应用。

问题 2 使用 log 公式的运算法则，底数不一样可以直接用商的对数法则吗

回答 2 使用 log 公式的运算法则的时候，商的对数法则要求底数必须相同，如果底数不一样，不能直接拆分减法，必须先用换底法则统一底数，之后才可以继续使用 log 公式的运算法则进行化简。

问题 3 log 公式的运算法则里面幂的对数法则，指数 n 可以是负数吗

回答 3 log 公式的运算法则里面幂的对数法则，指数 n 不局限正整数，可以是分数负数任意实数，只要真数 M 大于 0 就可以正常套用这条 log 公式的运算法则。

问题 4 log 公式的运算法则适用于 lg 和 ln 吗

回答 4 log 公式的运算法则同样适用于 lg 和 ln，lg 是固定底数 10 的对数，ln 是固定底数 e 的自然对数，它们只是特殊底数的 log，全部积商幂换底相关的 log 公式的运算法则都可以正常使用。

【免责申明】

本文介绍的 log 公式的运算法则仅作为数学学习参考，不同教材表述细节略有差异，正式考试请以教材和考纲为准，因法则套用错误造成计算失误由使用者自行承担。