在数学领域中，探讨一元二次方程的根与系数关系是一个经典且重要的课题。假设我们已经知道 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是某个特定一元二次方程的两个根，这个方程的形式为：
\[
x^2 - 2(m+1)x + (m^2 + 5) = 0
\]
这是一个典型的关于 \( x \) 的标准形式一元二次方程。在这个方程中，\( m \) 是一个待定参数。为了进一步分析该方程的性质，我们需要利用根与系数的关系来推导相关信息。
首先，根据韦达定理，对于任意一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其两根 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 满足以下关系：
1. 根的和 \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
2. 根的积 \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
将上述方程代入韦达定理公式，可以得到：
- \( x_1 + x_2 = 2(m+1) \)
- \( x_1 \cdot x_2 = m^2 + 5 \)
接下来，我们可以进一步探讨该方程的判别式 \( \Delta \)，以判断方程是否有实数解。判别式的计算公式为：
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
对于给定的方程，\( a = 1 \), \( b = -2(m+1) \), \( c = m^2 + 5 \)，因此：
\[
\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 5)
\]
化简后得到：
\[
\Delta = 4(m+1)^2 - 4(m^2 + 5)
\]
继续展开并整理：
\[
\Delta = 4(m^2 + 2m + 1) - 4m^2 - 20
\]
\[
\Delta = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 - 20
\]
\[
\Delta = 8m - 16
\]
当 \( \Delta \geq 0 \) 时，方程有实数解；否则，方程无实数解。因此，需要满足条件 \( 8m - 16 \geq 0 \)，即 \( m \geq 2 \)。
综上所述，通过对方程的分析可知，当 \( m \geq 2 \) 时，方程 \( x^2 - 2(m+1)x + (m^2 + 5) = 0 \) 存在实数根 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，并且它们的和与积可以通过韦达定理确定。
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