【正交矩阵有什么性质?】正交矩阵是线性代数中非常重要的一个概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。它不仅具有良好的代数性质，还具备几何上的直观意义。本文将总结正交矩阵的主要性质，并通过表格形式进行清晰展示。
一、正交矩阵的定义
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的实矩阵，若满足：
$$
A^T A = I
$$
其中 $ A^T $ 表示 $ A $ 的转置矩阵，$ I $ 是单位矩阵，则称 $ A $ 为正交矩阵。
二、正交矩阵的主要性质
1. 行列式值为 ±1
正交矩阵的行列式值只能是 1 或 -1，这表明其不改变空间的体积（仅可能翻转方向）。
2. 逆等于转置
对于正交矩阵 $ A $，有：
$$
A^{-1} = A^T
$$
3. 列向量与行向量均为标准正交基
正交矩阵的每一列（或每一行）都是单位向量，并且任意两列（或两行）之间相互正交。
4. 保持向量长度不变
对于任意向量 $ x $，有：
$$
\
$$
即正交矩阵不会改变向量的长度。
5. 保持向量内积不变
对于任意两个向量 $ x $ 和 $ y $，有：
$$
(A x) \cdot (A y) = x \cdot y
$$
这意味着正交矩阵保持向量之间的角度和距离关系。
6. 乘积仍为正交矩阵
若 $ A $ 和 $ B $ 都是正交矩阵，则它们的乘积 $ AB $ 也是正交矩阵。
7. 特征值在单位圆上
正交矩阵的所有特征值的模长都为 1，即位于复平面上的单位圆上。
8. 可以表示旋转或反射
在几何上，正交矩阵常用于表示三维空间中的旋转或镜像反射操作。
三、正交矩阵性质总结表
| 性质名称 | 描述 | ||||
| 行列式 | 行列式为 ±1 | ||||
| 逆等于转置 | $ A^{-1} = A^T $ | ||||
| 列向量正交且单位化 | 每一列是单位向量，且两两正交 | ||||
| 保持向量长度 | $ \ | A x\ | = \ | x\ | $ |
| 保持向量内积 | $ (A x) \cdot (A y) = x \cdot y $ | ||||
| 乘积仍为正交矩阵 | 若 $ A, B $ 正交，则 $ AB $ 也正交 | ||||
| 特征值模长为1 | 所有特征值的模长为 1 | ||||
| 几何意义 | 可表示旋转或反射操作 |
四、结语
正交矩阵因其独特的代数和几何性质，在许多领域中都有重要应用。理解它的性质有助于更深入地掌握线性变换的本质，并在实际问题中灵活运用。无论是理论研究还是工程计算，正交矩阵都是不可或缺的重要工具。
