【正交矩阵的性质】正交矩阵是线性代数中一种重要的矩阵类型，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。它具有许多独特的性质，使得在处理旋转、反射、正交变换等问题时非常方便。以下是对正交矩阵主要性质的总结，并以表格形式进行展示。
一、正交矩阵的基本定义
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的实矩阵，若满足：
$$
A^T A = I
$$
其中 $ A^T $ 是 $ A $ 的转置矩阵，$ I $ 是单位矩阵，则称 $ A $ 为正交矩阵。
二、正交矩阵的主要性质总结
| 序号 | 性质描述 | 说明 | ||||
| 1 | 行列式值为 ±1 | 正交矩阵的行列式只能是 1 或 -1，表示其不改变空间的体积方向或大小。 | ||||
| 2 | 逆等于转置 | 即 $ A^{-1} = A^T $，这是正交矩阵最核心的性质之一。 | ||||
| 3 | 列向量两两正交且单位化 | 正交矩阵的每一列都是单位向量，且任意两列之间正交。 | ||||
| 4 | 行向量同样两两正交且单位化 | 同样适用于行向量，即矩阵的行向量也构成一组标准正交基。 | ||||
| 5 | 保持向量长度不变 | 对于任意向量 $ x $，有 $ \ | Ax\ | = \ | x\ | $，即正交变换不改变向量的模长。 |
| 6 | 保持内积不变 | 对于任意两个向量 $ x, y $，有 $ (Ax)^T(Ay) = x^T y $，即正交变换保持向量间的夹角不变。 | ||||
| 7 | 特征值的模为 1 | 正交矩阵的特征值均为复数，且模长为 1，即 $ | \lambda | = 1 $。 | ||
| 8 | 可逆性 | 正交矩阵一定是可逆的，且其逆矩阵也是正交矩阵。 | ||||
| 9 | 正交矩阵的乘积仍为正交矩阵 | 若 $ A $ 和 $ B $ 都是正交矩阵，则 $ AB $ 也是正交矩阵。 | ||||
| 10 | 正交矩阵的伴随矩阵也是正交矩阵 | 即 $ A^ $（共轭转置）也为正交矩阵，对于实矩阵来说即为 $ A^T $。 |
三、应用举例
- 几何变换：正交矩阵常用于表示旋转和平移等刚体变换。
- 数据压缩与降维：如主成分分析（PCA）中使用正交变换进行数据投影。
- 数值计算：正交矩阵在求解线性方程组、矩阵分解（如QR分解）中具有稳定性优势。
四、总结
正交矩阵因其特殊的结构和良好的性质，在多个领域中发挥着重要作用。理解其性质不仅有助于深入掌握线性代数理论，也能在实际问题中提供有效的工具和方法。通过上述表格可以清晰地看到正交矩阵的关键特性及其应用场景。
