在平面几何中，直角三角形是一种非常基础且重要的图形，其特殊性质被广泛应用于数学解题和实际问题中。今天，我们来探讨一个常见的几何问题：已知直角三角形的两条直角边长度分别为5和12，求其斜边上的高。

一、直角三角形的基本性质

首先，回顾一下直角三角形的关键特性。直角三角形是由三条边构成的，其中一条边是直角边，另两条边互相垂直。根据勾股定理，直角三角形的两条直角边（记作a和b）与其斜边（记作c）之间满足以下关系：

\[

c^2 = a^2 + b^2

\]

在这个问题中，已知两条直角边的长度分别为5和12，因此可以先计算出斜边的长度。

二、计算斜边长度

代入公式 \( c^2 = a^2 + b^2 \)，其中 \( a = 5 \) 和 \( b = 12 \)：

\[

c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169

\]

取平方根得到斜边长度：

\[

c = \sqrt{169} = 13

\]

因此，该直角三角形的斜边长度为13。

三、斜边高的计算方法

接下来，我们需要求解斜边上的高。所谓斜边上的高，是指从直角顶点向斜边作垂线，所形成的垂线段的长度。设斜边上的高为h，则可以通过面积法进行推导。

直角三角形的面积有两种计算方式：

1. 使用两条直角边的乘积除以2：

\[

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30

\]

2. 使用斜边与对应的高乘积除以2：

\[

S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h

\]

将两种表达式等量代入，可得：

\[

30 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h

\]

化简后求解h：

\[

h = \frac{30 \times 2}{13} = \frac{60}{13}

\]

因此，斜边上的高为 \(\frac{60}{13}\)。

四、总结与应用

通过以上分析，我们可以得出结论：对于直角三角形，已知两条直角边分别为5和12时，其斜边上的高为 \(\frac{60}{13}\)。这一结果不仅适用于理论推导，还可以用于解决实际问题，例如建筑设计、工程测量等领域。

在学习几何的过程中，掌握基本公式和灵活运用面积法是关键。希望本文能帮助大家更好地理解直角三角形的性质及其相关计算方法。