在数学中，等比数列是一种特殊的数列形式，其中每一项与前一项的比值是固定的常数。这种数列在生活中有着广泛的应用，比如银行利率计算、人口增长模型等。了解等比数列的基本公式对于解决相关问题至关重要。

首先，让我们明确等比数列的定义。一个数列如果满足从第二项开始，每一项与它前面一项的比值相等，则这个数列被称为等比数列。这个固定的比值通常用字母 \( q \) 表示，称为公比。

接下来，我们来看一下等比数列的一些基本公式：

1. 通项公式

等比数列的第 \( n \) 项可以用通项公式表示为：

\[

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

\]

其中，\( a_1 \) 是首项，\( q \) 是公比，\( n \) 是项数。

2. 前 \( n \) 项和公式

如果需要求出等比数列的前 \( n \) 项和，可以使用以下公式：

\[

S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}, \quad (q \neq 1)

\]

当 \( q=1 \) 时，所有项都相等，此时前 \( n \) 项和为：

\[

S_n = n \cdot a_1

\]

3. 无穷项和公式（当 \( |q| < 1 \) 时）

如果等比数列有无穷多项，并且公比 \( |q| < 1 \)，那么前 \( n \) 项和会逐渐接近一个固定值，即无穷项和。其公式为：

\[

S_\infty = \frac{a_1}{1-q}, \quad (|q| < 1)

\]

4. 等比中项公式

在等比数列中，任意两项之间的等比中项满足以下关系：

\[

G = \sqrt{a_m \cdot a_n}

\]

这里的 \( G \) 是 \( a_m \) 和 \( a_n \) 的等比中项。

以上就是等比数列的一些核心公式。这些公式在实际应用中非常实用，无论是解决理论问题还是处理现实生活中的数据统计，都能发挥重要作用。掌握了这些公式后，你就可以更加轻松地应对各种涉及等比数列的问题了。