在数学分析中，泰勒公式是一种将函数表示为无穷级数的方法，它在近似计算、误差估计以及解决实际问题方面有着广泛的应用。以下是五个常用的泰勒公式及其展开形式。

1. 指数函数的泰勒公式

指数函数 \( e^x \) 的泰勒展开式为：

\[

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

\]

这个公式在处理涉及指数增长或衰减的问题时非常有用。

2. 正弦函数的泰勒公式

正弦函数 \( \sin(x) \) 的泰勒展开式为：

\[

\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

\]

该公式常用于求解三角函数的近似值。

3. 余弦函数的泰勒公式

余弦函数 \( \cos(x) \) 的泰勒展开式为：

\[

\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

\]

与正弦函数类似，该公式也广泛应用于物理和工程领域。

4. 自然对数的泰勒公式

自然对数函数 \( \ln(1+x) \) 在 \( |x| < 1 \) 范围内的泰勒展开式为：

\[

\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots

\]

此公式对于研究增长率或累积效应很有帮助。

5. 幂函数的泰勒公式

幂函数 \( (1+x)^a \) （其中 \( a \) 是任意实数）的泰勒展开式为：

\[

(1+x)^a = \sum_{n=0}^\infty \binom{a}{n} x^n = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots

\]

这里 \( \binom{a}{n} \) 表示广义二项式系数。此公式适用于处理多项式的高次项问题。

以上五个泰勒公式是数学分析中的基础工具，掌握它们可以帮助我们更好地理解和解决各种复杂的数学问题。