在数学分析中，探讨函数的导数是理解其变化规律的重要手段之一。对于三角函数而言，求导是一个基础且重要的课题。本文将详细解析正切函数 \( \tan x \) 的求导过程，帮助读者深入理解这一过程中的数学原理。

首先，我们需要明确正切函数的定义。正切函数 \( \tan x \) 是由正弦函数 \( \sin x \) 和余弦函数 \( \cos x \) 的比值构成的，即：

\[

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

\]

根据商的求导法则，若 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 是可导函数，则它们的商 \( \frac{u(x)}{v(x)} \) 的导数为：

\[

\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

\]

在本例中，令 \( u(x) = \sin x \) 和 \( v(x) = \cos x \)，则有：

\[

u'(x) = \cos x, \quad v'(x) = -\sin x

\]

代入商的求导公式，得到：

\[

(\tan x)' = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(\cos x)^2}

\]

化简分子部分：

\[

(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x

\]

利用三角恒等式 \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \)，分子变为 1。因此，导数简化为：

\[

(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

\]

进一步，我们可以将其表示为另一种形式：

\[

(\tan x)' = \sec^2 x

\]

其中，\( \sec x \) 是余割函数，定义为 \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \)。

综上所述，正切函数 \( \tan x \) 的导数为 \( \sec^2 x \)。这一结果在微积分中具有广泛的应用，尤其是在处理与周期性变化相关的实际问题时。

通过以上推导，我们不仅得到了 \( \tan x \) 的导数公式，还重温了商的求导法则和基本三角恒等式的应用。希望本文能为读者提供清晰的理解路径，并激发对数学分析的兴趣。