【常用转动惯量公式】在物理学中，转动惯量是物体在旋转运动中抵抗角加速度的能力的度量，类似于质量在平动中的作用。不同的物体形状和旋转轴位置会导致其转动惯量不同。以下是几种常见几何体的转动惯量公式总结，适用于绕特定轴旋转的情况。
一、基本概念
转动惯量（Moment of Inertia）用符号 $ I $ 表示，单位为千克·平方米（kg·m²）。其计算公式为：
$$
I = \sum m_i r_i^2
$$
其中，$ m_i $ 是质点的质量，$ r_i $ 是该质点到旋转轴的距离。对于连续分布的物体，公式变为积分形式：
$$
I = \int r^2 dm
$$
二、常见物体的转动惯量公式
以下表格列出了几种典型物体的转动惯量公式，均以绕通过其质心的轴为旋转轴为例。
| 物体名称 | 形状描述 | 转动惯量公式 | 说明 |
| 均匀细杆 | 绕垂直于杆并通过中心的轴 | $ I = \frac{1}{12}ml^2 $ | $ m $ 为质量，$ l $ 为长度 |
| 均匀细杆 | 绕一端的轴 | $ I = \frac{1}{3}ml^2 $ | 与中心轴相比，转动惯量更大 |
| 实心圆柱体 | 绕中心轴（沿轴线方向） | $ I = \frac{1}{2}mr^2 $ | $ r $ 为半径 |
| 空心圆柱体 | 绕中心轴 | $ I = \frac{1}{2}m(r_1^2 + r_2^2) $ | $ r_1 $ 和 $ r_2 $ 分别为内、外半径 |
| 实心球体 | 绕通过质心的轴 | $ I = \frac{2}{5}mr^2 $ | $ r $ 为半径 |
| 空心球体 | 绕通过质心的轴 | $ I = \frac{2}{3}mr^2 $ | 比实心球体的转动惯量大 |
| 圆环 | 绕垂直于平面并通过中心的轴 | $ I = mr^2 $ | 所有质量集中在半径 $ r $ 处 |
三、注意事项
- 平行轴定理：若旋转轴不通过物体的质心，则可以使用平行轴定理来计算转动惯量：
$$
I = I_{\text{cm}} + md^2
$$
其中 $ I_{\text{cm}} $ 是绕质心轴的转动惯量，$ d $ 是两轴之间的距离。
- 垂直轴定理：适用于薄板状物体，当旋转轴垂直于板面时，可利用该定理计算绕不同轴的转动惯量。
- 不同形状的物体，即使质量相同，由于质量分布不同，其转动惯量也会有很大差异。
四、应用举例
例如，一个质量为 $ m $、半径为 $ r $ 的实心球体，如果绕其直径旋转，其转动惯量为：
$$
I = \frac{2}{5}mr^2
$$
而如果是一个空心球体，其转动惯量则为：
$$
I = \frac{2}{3}mr^2
$$
这表明，空心球体比实心球体更容易旋转，因为其质量更远离旋转轴。
五、总结
转动惯量是理解刚体旋转运动的重要物理量。掌握不同物体的转动惯量公式，有助于分析和解决实际问题，如机械设计、天体运动等。在实际应用中，还需结合平行轴定理、垂直轴定理等工具进行灵活计算。
