在数学学习过程中，不定积分是一个非常重要的内容，尤其是在高等数学和微积分领域。对于一些常见的函数组合，如多项式乘以反三角函数，求其不定积分往往需要使用分部积分法。今天我们就来探讨一下“xarctanx”的不定积分到底是什么。
首先，我们明确一下问题：什么是“xarctanx”的不定积分？换句话说，我们要找到一个函数F(x)，使得它的导数等于x乘以arctanx，即：
$$
\frac{d}{dx} F(x) = x \cdot \arctan x
$$
为了求这个不定积分，我们可以使用分部积分法。分部积分的公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
现在，我们设：
- $ u = \arctan x $，则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $
- $ dv = x \, dx $，则 $ v = \frac{x^2}{2} $
将这些代入分部积分公式中：
$$
\int x \cdot \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \cdot \arctan x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} dx
$$
接下来，我们简化第二项中的积分：
$$
\int \frac{x^2}{2(1 + x^2)} dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1 + x^2} dx
$$
注意到分子可以拆解为：
$$
\frac{x^2}{1 + x^2} = 1 - \frac{1}{1 + x^2}
$$
因此，原式变为：
$$
\frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{1}{1 + x^2}\right) dx = \frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx - \int \frac{1}{1 + x^2} dx \right)
$$
分别计算这两个积分：
- $\int 1 \, dx = x$
- $\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x$
所以，第二项的结果是：
$$
\frac{1}{2} (x - \arctan x)
$$
将整个表达式代回原式：
$$
\int x \cdot \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \cdot \arctan x - \frac{1}{2}(x - \arctan x) + C
$$
进一步整理得：
$$
\int x \cdot \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan x + C
$$
也可以将其写成更简洁的形式：
$$
\int x \cdot \arctan x \, dx = \frac{1}{2} \left( x^2 \arctan x - x + \arctan x \right) + C
$$
这就是“xarctanx”的不定积分结果。
总结：
通过分部积分法，我们成功地求出了“xarctanx”的不定积分，其结果为：
$$
\frac{1}{2} \left( x^2 \arctan x - x + \arctan x \right) + C
$$
在实际应用中，这类积分常出现在物理、工程以及数学建模中，掌握其解法有助于解决更复杂的积分问题。如果你对其他类似函数的积分也感兴趣，欢迎继续关注！
