在高等数学中，三角函数是一个非常重要的部分，而正切函数（tanx）作为其中的一员，其导数的求解也是学生和研究者需要掌握的基本技能之一。本文将详细讲解如何计算tanx的导数，并通过简单的推导过程帮助读者加深理解。

首先回顾一下正切函数的定义：\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]

根据商数法则，两个函数之比的导数可以表示为：

\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

在这里，设 \( u = \sin x \) 和 \( v = \cos x \)，则有：

- \( u' = \cos x \)

- \( v' = -\sin x \)

代入公式得到：

\[ (\tan x)' = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} \]

\[ = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]

根据三角恒等式 \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \)，可简化为：

\[ (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \]

注意到 \( \frac{1}{\cos^2 x} \) 等价于 \( \sec^2 x \)，因此最终结果为：

\[ (\tan x)' = \sec^2 x \]

总结来说，正切函数tanx的导数是其平方的余割函数（即sec²x）。这一结论不仅适用于实数域，也广泛应用于微积分、物理学等领域。希望以上推导能够帮助大家更好地理解和记忆这一知识点！