在高等数学的学习过程中，求解函数的微分是一个基础而重要的技能。微分的概念源自于描述变化率的问题，它帮助我们理解函数在某一点附近的局部性质。本文将从基本定义出发，结合实例讲解如何进行微分运算。

首先，我们需要明确什么是微分。设函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处可导，则其微分为：

\[ df = f'(x_0) \cdot dx \]

这里，\( f'(x_0) \) 表示函数 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 处的导数值，而 \( dx \) 是自变量 \( x \) 的一个增量。

接下来，让我们通过几个具体的例子来掌握求微分的实际操作方法。

例 1：求函数 \( y = x^3 + 2x^2 - 5x + 7 \) 的微分。

解：首先计算函数的一阶导数：

\[ y' = 3x^2 + 4x - 5 \]

因此，该函数的微分为：

\[ dy = (3x^2 + 4x - 5)dx \]

例 2：对于指数函数 \( y = e^{2x} \)，求其微分。

解：利用链式法则，我们知道 \( (e^{u})' = u'e^u \)。所以，

\[ y' = 2e^{2x} \]

从而得到微分形式为：

\[ dy = 2e^{2x}dx \]

除了上述两种常见类型的函数外，在处理复合函数时也需注意应用适当的规则。例如，若给定隐函数关系 \( F(x, y) = 0 \)，可以通过隐函数求导法来确定 \( y \) 关于 \( x \) 的导数，并进一步推导出相应的微分表达式。

总结来说，掌握高等数学中的微分技巧不仅有助于解决理论问题，还能应用于实际工程和技术领域。希望以上内容能为你提供一定的启发和帮助！