在数学领域中，数列是一个非常重要的研究对象，而求解数列的通项公式是解决许多实际问题的基础。对于某些特定形式的递推关系式，通过引入“不动点”的概念，可以巧妙地简化计算过程并快速得到通项公式。本文将详细介绍这一方法，并结合实例展示其应用。

什么是不动点？

不动点是指函数 \( f(x) \) 中满足方程 \( f(x) = x \) 的值。简单来说，就是当输入为某个值时，经过函数变换后输出仍保持不变的那个值。例如，若函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 2 \)，则其不动点可以通过解方程 \( x^2 - 2x + 2 = x \) 求得。

不动点与数列的关系

当我们面对一个形如 \( a_{n+1} = f(a_n) \) 的递推数列时，如果能够找到该递推关系对应的不动点 \( c \)，那么可以通过构造辅助序列来简化求解通项公式的过程。具体步骤如下：

1. 确定不动点：首先求出函数 \( f(x) \) 的不动点 \( c \)，即解方程 \( f(c) = c \)。

2. 构造辅助序列：令 \( b_n = a_n - c \)，这样可以将原递推关系转化为关于 \( b_n \) 的新关系式。

3. 化简并求解：利用新关系式逐步推导出 \( b_n \) 的表达式，进而回代得到 \( a_n \) 的通项公式。

实例分析

假设我们有这样一个递推数列：

\[ a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + 1, \quad a_1 = 2 \]

第一步：寻找不动点

令 \( f(x) = \frac{x}{2} + 1 \)，则不动点满足：

\[

f(c) = c \implies \frac{c}{2} + 1 = c \implies c = 2

\]

因此，不动点为 \( c = 2 \)。

第二步：构造辅助序列

定义 \( b_n = a_n - 2 \)，则有：

\[

b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = \left( \frac{a_n}{2} + 1 \right) - 2 = \frac{a_n}{2} - 1 = \frac{b_n}{2}

\]

于是，辅助序列 \( b_n \) 满足：

\[

b_{n+1} = \frac{b_n}{2}, \quad b_1 = a_1 - 2 = 0

\]

第三步：求解辅助序列

显然，这是一个等比数列，首项为 \( b_1 = 0 \)，公比为 \( \frac{1}{2} \)。因此：

\[

b_n = b_1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = 0

\]

由此可得：

\[

a_n = b_n + 2 = 2

\]

最终，该数列的通项公式为：

\[

a_n = 2

\]

总结

通过利用不动点的方法，我们可以有效地处理一些复杂的递推数列问题。这种方法不仅逻辑清晰，而且操作简便，在实际应用中具有很高的实用价值。希望本文的讲解能够帮助读者更好地理解和掌握这一技巧！