【分数怎么求导】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。对于分数形式的函数，如 $ \frac{u(x)}{v(x)} $，我们通常使用“商数法则”来求导。本文将总结分数求导的基本方法，并通过表格形式清晰展示不同情况下的求导步骤。
一、基本概念
分数函数一般表示为：
$$
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
$$
其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 是关于 $ x $ 的可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $。
二、求导方法总结
| 情况 | 函数形式 | 求导公式 | 说明 |
| 1 | $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ | 使用商数法则，分子为“上导乘下减下导乘上”，分母为下平方 |
| 2 | $ f(x) = \frac{c}{v(x)} $（$ c $ 为常数） | $ f'(x) = \frac{-c \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} $ | 常数在分子，直接应用商数法则简化 |
| 3 | $ f(x) = \frac{u(x)}{c} $（$ c $ 为常数） | $ f'(x) = \frac{u'(x)}{c} $ | 分母为常数，可直接提取出常数因子进行求导 |
| 4 | $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ f'(x) = -\frac{1}{x^2} $ | 特殊情况，可以看作 $ x^{-1} $，利用幂法则求导 |
三、示例解析
例1：
求 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} $ 的导数。
- $ u(x) = x^2 + 1 $, $ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x - 3 $, $ v'(x) = 1 $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2}
= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x - 3)^2}
= \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}
$$
例2：
求 $ f(x) = \frac{5}{x^2 + 1} $ 的导数。
- $ u(x) = 5 $, $ u'(x) = 0 $
- $ v(x) = x^2 + 1 $, $ v'(x) = 2x $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 5 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
= \frac{-10x}{(x^2 + 1)^2}
$$
四、注意事项
1. 分母不能为零：在求导过程中，必须确保分母不为零。
2. 先化简再求导：有些分数可以通过约分或变形简化后再求导，减少计算量。
3. 结合其他法则：当分数中含有乘积或复合函数时，可能需要结合乘积法则或链式法则一起使用。
五、总结
分数函数的求导主要依赖于“商数法则”，掌握其基本公式和适用条件后，可以轻松应对大多数分数形式的导数问题。通过表格对比不同情况，有助于加深理解并快速判断如何操作。
